• INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

    QUE ES EL INTERES CON RESPECTO A UN CAPITAL (DINERO).?

    Tipo de interés es el precio del dinero. Más específicamente el tipo de interés es el precio que se paga por utilizar el dinero. Como en todos los mercados, los precios regulan la oferta y la demanda a través de los precios. El dinero también tiene su mercado y la utilización del mismo tiene un precio que es el tipo de interés.

    En todas las economías hay personas e instituciones que tienen excedentes de ahorros (prestamistas), y otras que tienen necesidades de fondos para gastos e inversión (prestatarios).

    El dinero que los prestamistas ceden a los prestatarios tiene un precio, que normalmente se establece en términos de porcentaje que denominaremos ("i"), sobre la cantidad prestada y durante un tiempo determinado.

    EN OTRO ORDEN DE IDEAS EL INTERES QUE SEÑALAREMOS CON LA LETRA "I", ES LA RENUMERACION, RENTA O PRECIO DEL ALQUILER DEL CAPITAL. SE ENTIENDE POR CAPITAL QUE DENOMINAREMOS "C" EL VALOR MONETARIO DE LA CANTIDAD DE BIENES INVERTIDA EN ALGUNA OPERACION FINANCIERA Y QUE PUEDA QUEDAR SUJETA A VARIACIONES CUANTITATIVAS.

    TAMBIEN PODRIA DECIRSE QUE EL CAPITAL ("C") ES UN CONJUNTO DE BIENES DESTINADOS A GENERAL MAS BIENES, CUANDO SE ASOCIA CON EL TRABAJO Y EN FUNCION DEL TIEMPO QUE DENOMINAREMOS ("t")

    <INTERES SIMPLE > :

    SE HABLA DE "INTERES SIMPLE", CUANDO EL MENCIONADO ALQUILER DEL CAPITAL SE HA DE COBRAR AL FINAL DE CADA PERIODO CONVENIDO Y SE DEJA DICHO CAPITAL EN CALIDAD DE PRESTAMO, PARA QUE SIGA PRODUCIENDO MAS INTERESES.
    TAMBIEN PODRIA DECIRSE QUE "EL INTERES SIMPLE" ES EL CARGO (O COBRO) SOBRE UN PRESTAMO ( EN ESPECIE O EN DINERO) O POR EL APLAZAMIENTO EN EL COBRO DE UNA ACREENCIA; SIEMPRE Y CUANDO DICHO CARGO SE COBRE AL FINAL DE CADA PERIODO CONVENIDO.

    "EL INTERES SIMPLE NO ES OTRA COSA QUE ¨EL BENEFICIO¨ QUE SE OBTIENE SOBRE UN ¨CAPITAL FIJO¨, O INVARIABLE QUE SE PRESTA DURANTE CIERTO TIEMPO.

  • LOGARITMO

    LA FUNCION LOGARITMICA ES UNA FUNCION CUYO DOMINIO SON LOS NUMEROS REALES MAYORES QUE CERO,

    SEA DOM DE F(X)= PARA TODO X PERTENECIENTE A R / X > 0

  • PROPORCIONES

    la factorizacion consiste en expresar un numero mayor que uno (1) como el producto de potencias de sus factores primos. ejemplo:
    20 = 2 x 2 x 5 dos a elevado a la dos por cinco
    1350= 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5 dos por tres a la tres por cinco a la dos
    de igual forma tambien

    EJEMPLO: EN UNA ELECCION HAY 3 CANDIDATOS MARIA (M), PABLO (P) Y NELSON (N) . DESPUES DE LAS ELECCIONES SE OBTUVO EL SIGUIENTE RESULTADO :
    MARIA (M) = 50 VOTOS
    NELSON (N)= 75 VOTOS
    PABLO (p) = 70 VOTOS

    SI NOSOTROS TOMAMOS EN CUENTA LOS VOTOS DE MARIA CON RESPECTO A LOS DEMAS OBTENEMOS LA SIGUIENTE
    RELACION:
    50/75 = 2 X 5 X 5 / 5 X 5 X 3 DESPUES DE FACTORIZAR; SIMPLIFICAMOS OBTENEMOS
    50/75 = 2/3 O SEA QUE HAY UNA RELACION DE VOTOS 2 DE MARIA POR 3 DE NELSON

    50/70= 2 X 5 X 5 / 2 X 5 X 7 DESPUES DE FACTORIZAR; SIMPLIFICAMOS OBTENEMOS
    50/70=5/7 O SEA QUE HAY UNA RELACION DE VOTOS 5 DE MARIA POR 7 DE PABLO

    AHORA CUANDO NOSOTROS FACTORIZAMOS FRACIONES; CAEMOS EN EL CAMPO DE LAS PROPORCIONES, DONDE 2 FRACIONES SON EQUEIVALENTES O IGUALES COMO EN ESTOS CASOS:

    50/75 = 2/3 = 0.66666666 CON EL SEIS PERIODICO O SEA SE REPITE ILIMITADAMENTE
    50/70 = 5/7 = 0.714285714

    ESCRITO DE OTRA MANERA MAS GENERAL SIENDO a, b, c, d numeros naturales o pertenecientes A N; TENEMOS QUE:

    a / b = c / d ; AHORA EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS "a x d = b x c"

    AHORA SUPONGAMOS QUE TU NO TIENES LA INFORMACION ANTERIOR Y SOLO TIENES LA SIGUIENTE:

    MARIA = 50 VOTOS
    NELSON = ? VOTOS
    PABLO = ? VOTOS ; Y ADEMAS

    LA PROPORCION DE VOTOS DE MARIA CON RESPECTO DE NELSON ES DE 2 / 3
    LA PROPÒRCION DE VOTOS DE MARIA CON RESPECTO DE PABLO ES DE 5 / 7 ; DIGA CUANTOS VOTOS OBTUVO CADA UNO DE LOS CANDIDATOS Y CUANTOS VOTOS OBTUVO. Y POR MEDIO DE LAS PROPORCIONES SE HALLA LA RESPUESTAS

    MARIA CON RESPECTO A NELSON: 2 / 3 = 50 / X ; DONDE X = 50 POR 3 / 2 = 150/2 = 75
    MARIA CON RESPECTO A PABLO: 5 / 7 = 50 / x ; DONDE X = 50 POR 7 / 5 = 350/5 = 70 ; GANO NELSON .

    AHORA SUPONGAMOS QUE NO TIENES LA INFORMACION ANTERIOR Y TIENES LA SIGUIENTE:

    RELACION DE VOTOS DE MARIA CON RESPECTO A NELSON ES DE 2 /3 Y LA
    RELACION DE VOTOS DE MARIA CON RESPECTO A PABLO ES DE 5 / 7

    QUIEN GANO LAS ELECCIONES?

    COMO PUEDES VER POR MEDIO DE LAS PROPORCIONE MARIA PIERDE CON RESPECTO A NELSON Y PABLO;

    MARIA POR CADA 2 VOTOS OBTENIDOS, NELSON OBTIENE 3 VOTOS, PIERDE MARIA CON RESPECTO A NELSON
    MARIA POR CADA 5 VOTOS OBTENIDOS, PABLO OBTIENE 7, PIERDE MARIA CON RESPECTO A PABLO

    AHORA CONTAMOS CON UN REFERENTE COMUN QUE ES MARIA CON RESPECTO A NELSON Y A PABLO, VAMOS

    A RELACIONARLOS (esto no los permite las reglas de las proporciones)

    RELACIONAMOS NELSON CON MARIA Y MARIA CON PABLO UTILIZANDO A MARIA COMO CONECTOR:

    3 DE NELSON / 2 DE MARIA POR 5 DE MARIA / 7 DE PABLO = 15 DE NELSON / 14 DE PABLO ;
    3/2 POR 5/7 = 3 x 5 / 2 x 7 = 15 / 14 ; GANA NELSON ;

    NELSON 15 VOTOS POR 14 DE PABLO; COMO PUEDES VER SE ELIMINA MARIA COMO FACTOR COMUN EN AMBOS

    TERMINOS, Y COMO VES MARIA PASA A SER COMO UN NUMERO.

    NO SABEMOS EL NUMERO DE VOTOS PERO SI QUIEN GANO ELIMINANDO UN FACTOR COMUN QUE NOS SIRVIO DE CONECTOR. VAMOS A COMPROBAR EL RESULTADO.

    SUPONGAMOS QUE SABEMOS LOS VOTOS DE NELSON = 75 VOTOS VEAMOS CUANDO OBTUVO PABLO USANDO PROPORCIONES :

    RELACION : 15 NELSON / 14 DE PABLO

    15 / 14 = 75 / X ; a/b=c/d axd=bxc entonces d=bxc/a ; SUSTITUYENDO

    X = 14 x 75 / 15 = 1050 / 15 = 70 VOTOS DE PABLO ¡

    TAMBIEN PODEMOS OBTENER LOS VOTOS DE MARIA.!

    RELACION DE MARIA CON NELSON ES DE 2/3; APLICANDO PROPORCIONES SABIENDO QUE LOS VOTOS DE

    NELSON SON 70. 2 / 3 = X / 75 ; a/b=c/d entonces a x d = b x c ; POR LO TANTO

    X = a x d / c ; SUSTITUYENDO

    X = 2 x 75 / 3 = 150 / 3 = 50 VOTOS DE MARIA

  • NUMEROS

    NUMEROS NATURALES:

    Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.

    N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

    Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

    La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

    La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

    ropiedades de la adicion de Numeros Naturales

    La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

    1.- Asociativa:

    Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Por ejemplo:

    (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

    7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

    Los resultados coinciden, es decir,

    (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

    2.-Conmutativa

    Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

    a + b = b + a

    En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

    7 + 4 = 4 + 7

    Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

    3.- Elemento neutro

    El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

    a + 0 = a

    Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales

    La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

    1.-Asociativa

    Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

    (a · b) · c = a · (b · c)

    Por ejemplo:

    (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

    3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

    Los resultados coinciden, es decir,

    (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

    2.- Conmutativa

    Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

    a · b = b · a

    Por ejemplo:

    5 · 8 = 8 · 5 = 40

    3.-Elemento neutro

    El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

    a · 1 = a EJEMPLO: 6.1=6 ; 32.1= 32 ; 0.1=0 3006.1=306

    4.- Distributiva del producto respecto de la suma

    Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

    a · (b + c) = a · b + a · c

    Por ejemplo: 5 . (3 + 8) = 5 . 3 + 5 . 8

    ELIMINANDO EL PARENTESIS (SUMAMOS) Y LUEGO MULTIPLICAMOS NOS QUEDA
    5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

    DITRIBUYENDO : 5 . (3 + 8) NOS QUEDA
    5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

    Los resultados coinciden, es decir,

    5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

    EJEMPLO: 6 . ( 5 + 7 + 4 ) = 6.5 + 6.7 + 6.4
    ELIMINANDO PARENRESIS: 6.16 = 30 + 42 + 24 DISTRIBUYENDO
    96 = 96

    NUMEROS ENTEROS:

    Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.

    Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...}

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